有趣的鸡兔同笼问题

文/蔡同德

       暑假到了，家长们都很关心孩子的家庭作业完成情况。在小学四年级的数学作业中绕不开“鸡兔同笼”问题。

       鸡兔同笼问题是一个有趣的古典算术题。见下图：

已知条件表面有两个，一是鸡和兔子共有35个头，二是共有94只脚，实际上是四个已知条件，只不过每只鸡2只脚和每只兔子有4只脚是生活常识，没必要再说。然后让你求出鸡和兔子各有多少只。

(雉是一种像鸡的鸟，后来习惯用鸡代替，各几何的意思就是问各有多少。)

      这个问题如果交给初中生做很简单，用一元一次方程和二元一次方程组来解都行。

         如果用一元一次方程来解，则设鸡有 X 只，那么兔子就是(35 - X)只，每只鸡有两只脚，每只兔子有四只脚，因此得方程

2X + 4(35 - X) = 94

化简：2X + 140 - 4X = 94

           2X = 46

解得：X = 23  ，即鸡的只数，

         兔子是(35－23)=12(只).

列二元一次方程组的解法从略。

      然而，小学四年级还没学习方程的概念，要求列综合算式来解，对大多数学生就是一个难题了。

      解题思路有两种，都应该掌握。第一种是这样的：假设每只鸡也有 4 只脚，就会得出4 x 35=140只脚，显然比实际的 94 只脚要多出(140－94 = )46只脚，这完全是假设鸡多了两只脚造成的，因此

46 ÷ 2 = 23 就是鸡的只数。

       列综合算式可直接求出：

( 4 X 35 - 94 ) ÷ (4－2 )= 23，

然后兔子的只数是 35 - 23 = 12.

       第二种方法是，假设兔子有两只脚，那么 2X35=70 就比实际的脚数少了24只 (94-70=24)，这完全是因为少给每只兔子算了2只造成的，因此 24 ÷ 2 = 12 就是兔子的只数。综合算式为

    (94－2x35)÷(4－2)

     =(94－70)÷2

    =24÷2=12(兔子的只数)

    于是鸡的只数是35－12=23

       鸡兔同笼之所以是个典型算术问题，是因为很多问题都属于这种题型，都是这种算法。例如，某人到集市上买了土豆和西红柿共17斤，每斤土豆2元，每斤西红柿5元，共花52元，问此人买了土豆和西红柿各多少斤？

解法一：(先把土豆也按每斤5元计算，即每斤多算了3元)

       (5x17－52)÷(5－2)

      =(85－52)÷3=33÷3=11(斤)

这就是土豆的斤数。

     17－11=6(斤) 就是西红柿的斤数。

解法二：(先把西红柿也按每斤2元计算，即每斤少算3元)

        (52 - 2x17)÷(5－2)

      =(52－34)÷3=18÷3=6(斤)

    17－6 = 11(斤)是土豆的数量。

现在我们把鸡兔同笼问题拓展一下就大大增加理解难度了。

已知鸡兔共27只，兔子比鸡多18只腿，求鸡兔各多少只?

如果你说每只兔子比鸡多两条腿，答案是兔子9只，鸡18只，那就大错而特错了。因为9只兔子共36条腿，18只鸡也是36条腿，同样多。

这个问题用一元一次方程也很容易解决。设兔子为x只，那么得方程

4x-2(27－x)=18.

化简：4x-54+2x=18

            6x=72

           x=12

那么用综合算式怎么解呢？

应该是  (2x27+18)÷(4+2)=12

怎么理解这个算式呢？

我们不妨把鸡兔排成两排，②④既表示鸡兔，也表示腿的条数：

②②②②②②②②②②②②②②②

④④④④④④④④④④④④

前9对鸡兔，兔子就已经比鸡多了18条腿，还有鸡兔共9只，腿数应该相等，因为每只兔子和每只鸡的腿数之比是2：1，那么兔鸡的只数之比就应该是1：2，所以应该是兔子3只，鸡6只。所以兔子总只数是9+3=12只，鸡是27－12=15只。

注意，被除数(2×27+18=72)不是实际的鸡兔腿数的总和，是假设数，这时后面3只兔子还是假设2条腿，于是在配对时把后面3只鸡的腿给兔子，使兔子成了4条腿，这样就假设兔子和鸡一样多，每对鸡兔的腿是6条，所以要72÷6=12。

实际上鸡兔的腿数总和是12x4+15X2=48+30=78. 

正好是48－30=18，符合题意。

       如果同样是27只鸡兔，兔子的腿数比鸡腿少18条，求鸡兔各多少只，则(2x27－18)÷(4+2)=6 即为兔子的只数。

②②②②②②②……②②(21只鸡)

④④④④④④   

后面去掉9只鸡18条腿，则鸡兔的腿数应该相等，根据上面所说的比例，剩下来的18只鸡兔就应该是6只兔子12只鸡。因为假设兔子2条腿，再将6只鸡12条腿补给6只兔子，则兔子成了4条腿，和余下的6只鸡配对。

检验：兔子是6只，所以鸡就是21只，21×2－6×4=42－24=18.

这类问题实际生活中很多，举例：一个班有52名学生去植树，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，已知男生比女生共多栽36棵，求男女学生各多少人？

解：(2x52+36)÷(3+2)

       =140÷5

       =28     

      52－28=24

答：男生28人，女生24人。

检验：28×3－24×2=84－48=36

如果再加一问，求总棵数，则是

84+48=132(棵)

      希望此文能够对家长和孩子们有所帮助，若有异议可与作者电话联系。

作者简介：蔡同德，中专数学高级讲师，从淄博电子工程学校退休。电话：13953337668