博弈论之纳什均衡

原创 竹园李 博弈论原理 

纳什均衡概念是指在一个博弈中，每个决策参与人通过选择最优策略来达到自身最大利益的可能性，最终整个博弈达到的稳定状态。

纳什均衡的定义及起源

纳什均衡，又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名，由约翰·纳什（John Nash）在1951年提出的，后来也因此获得了1994年的诺贝尔经济学奖。

纳什均衡通俗地说是指在多人的"非合作博弈"中，如果每个参与人都无法单方面(在其他参与人都不改变策略的情况下，自己改变策略)改善自己的境地，此时的局面称作"纳什均衡"。冯·诺伊曼在《博弈论与经济行为》一书中证明了：零和博弈必定存在这样的均衡点。纳什的贡献在于他从"零和博弈"推广到"非零和博弈"，并证明了这样的均衡点依然存在。

纳什均衡是博弈最终达到的一种稳定状态，即：在包含两个或以上参与者的非合作博弈（Non-cooperative game）中，假设每个参与者都知道其他参与者的均衡策略的情况下，没有参与者可以透过改变自身策略使自身受益时的一个概念解。纳什均衡是所有参与人的最优策略组合，在这一组合中，没有任何人有积极性改变自己的选择。

纳什均衡又分为：纯策略的纳什均衡、混合策略的纳什均衡。纯策略纳什均衡是混合策略纳什均衡的退化，是混合策略纳什均衡的一种特例。如果一个博弈中不存在纯策略的纳什均衡，那么该博弈中一定存在一个混合策略的纳什均衡。

纳什均衡在博弈中出现的次数基本为奇数个(有数学证明)，即:1个、3个、5个...，博弈最终结果会是出现的纳什均衡中的某个（存在多个纳什均衡时，出现的那个被称为谢林点）或者某些。

纳什均衡的意义

关于纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明等奠定非合作博弈理论发展基础的重要成果，是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。实际上，博弈论的研究起始于1944年冯·诺依曼（Von Neumann）和奥斯卡·摩根斯坦（Oscar Morgenstern）合著的《博弈论和经济行为》。然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念，并在包含"混合策略（mixed strategies）"的情况下，证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性，从而开创了与诺依曼和摩根斯坦框架路线均完全不同的"非合作博弈（Non-cooperative Game）"理论，进而对"合作博弈（Cooperative Game）"和"非合作博弈"做了明确的区分和定义。

阿尔伯特·塔克（Albert tucker）教授评价其论文，"这是对博弈理论的高度原创性和重要的贡献。它发展了本身很有意义的n人有限非合作博弈的概念和性质。并且它很可能开拓出许多在两人零和问题以外的，至今尚未涉及的问题。在概念和方法两方面，该论文都是作者的独立创造。"

生活中的实例

纳什均衡不仅存在于理论研究中，也在现实生活中有很多实例。下面将以两个实例来说明纳什均衡的应用。

实例1：公司竞争与定价策略

在市场竞争中，公司之间的定价策略涉及到纳什均衡的应用。假设有两家公司在同一市场销售相似产品，它们的利润取决于自身的定价策略和对方的定价策略。每家公司都希望通过降低价格来吸引更多的消费者，但过低的价格可能会导致利润的减少。

在这种情况下，纳什均衡发生在当两家公司都选择合理的定价策略，使自己的利润最大化，并且无法通过改变自己的策略来获得更大的利益。例如，如果一家公司选择了较低的价格，而另一家公司选择了较高的价格，那么前者可能会失去市场份额，而后者可能会得到更高的利润。只有当两家公司都选择了合理的定价策略时，纳什均衡才会达到。

实例2：国际军备竞赛与军事战略

国际军备竞赛中的军事战略也涉及到纳什均衡的应用。假设两个国家之间存在军备竞赛，每个国家都希望通过增加军事力量来保护自己的国家安全。然而，过度的军备可能导致资源浪费和紧张局势的升级。

在这种情况下，纳什均衡发生在当两个国家都选择合理的军事战略，使自己的国家安全最大化，并且无法通过改变自己的策略来获得更大的利益。例如，如果一个国家增加了军事力量，而另一个国家没有做出相应的调整，那么前者可能会在军事上占据优势，而后者则可能面临更大的安全风险。只有当两个国家都选择了合理的军事战略时，纳什均衡才能实现。

重要影响

纳什均衡理论奠定了现代主流博弈理论和经济理论的根本基础，正如克瑞普斯（Kreps，1990）在《博弈论和经济建模》一书的引言中所说，“在过去的一二十年内，经济学在方法论以及语言、概念等方面，经历了一场温和的革命，非合作博弈理论已经成为范式的中心……在经济学或者与经济学原理相关的金融、会计、营销和政治科学等学科中，现在人们已经很难找到不懂纳什均衡能够‘消费’近期文献的领域。”纳什均衡的重要影响可以概括为以下六个方面（谢识予，1999）：

（1）改变了经济学的体系和结构。非合作博弈论的概念、内容、模型和分析工具等，均已渗透到微观经济学、宏观经济学、劳动经济学、国际经济学、环境经济学等经济学科的绝大部分学科领域，改变了这些学科领域的内容和结构，成为这些学科领域的基本研究范式和理论分析工具，从而改变了原有经济学理论体系中各分支学科的内涵。

（2）扩展了经济学研究经济问题的范围。原有经济学缺乏将不确定性因素、变动环境因素以及经济个体之间的交互作用模式化的有效办法，因而不能进行微观层次经济问题的解剖分析。纳什均衡及相关模型分析方法，包括扩展型博弈法、逆推归纳法、子博弈完美纳什均衡等概念方法，为经济学家们提供了深入的分析工具。

（3）加强了经济学研究的深度。纳什均衡理论不回避经济个体之间直接的交互作用，不满足于对经济个体之间复杂经济关系的简单化处理，分析问题时不只停留在宏观层面上而是深入分析表象背后深层次的原因和规律，强调从微观个体行为规律的角度发现问题的根源，因而可以更深刻准确地理解和解释经济问题。

（4）形成了基于经典博弈的研究范式体系。即可以将各种问题或经济关系，按照经典博弈的类型或特征进行分类，并根据相应的经典博弈的分析方法和模型进行研究，将一个领域所取得的经验方便地移植到另一个领域。

（5）扩大和加强了经济学与其他社会科学、自然科学的联系。纳什均衡之所以伟大，就因为它普通，而且普通到几乎无处不在。纳什均衡理论既适用于人类的行为规律，也适合于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。纳什均衡和博弈论的桥梁作用，使经济学与其他社会科学、自然科学的联系更加紧密，形成了经济学与其他学科相互促进的良性循环。

（6）改变了经济学的语言和表达方法。在进化博弈论方面相当有造诣的坎多利（Kandori，1997）对保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）的名言“你甚至可以使一只鹦鹉变成一个训练有素的经济学家，因为它必须学习的只有两个词，那就是‘供给’和‘需求’”，曾做过一个幽默的引申，他说，“现在这只鹦鹉需要再学两个词，那就是‘纳什均衡’”。

一些误解

误解1：纳什均衡为"各方利益总和最大化"

实际情况：纳什均衡与利益最大化没有关系，甚至会出现相反的情况—当局面处于纳什均衡时，对博弈的各方都不利。典型的例子是囚徒困境，其均衡解反而是"双输"的局面。 

误解2：纳什均衡点是唯一的

实际情况：对某些博弈可能存在有多个纳什均衡点

一些局限性

局限性1：

纳什仅证明了均衡点必定存在，但没有给出"如何找到均衡点"的方法论。

局限性2：

对于任何一个稍微复杂点的博弈，要想找到纳什均衡点，需要依赖于非常多的约束条件。在现实生活中，有很大的困难。

总结

纳什均衡作为博弈论中的重要概念，指导着决策制定者在互动环境中做出理性选择的策略。纳什均衡的应用不仅帮助我们理解和解释了许多现实世界中的决策行为，同时也为我们提供了指导理性决策的思路和方法。我们可以进一步探索纳什均衡的变种形式和扩展应用，以更好地解决互动决策问题。

编辑：李益萍