用欧几里得反证法证明孪生素数对有无穷多对
文/王彦会
证明方法一：
证明： 请看如下两个数列：
2n+1: 3,5,7,……，
2n+3: 5,7,9,……，
对应项差为2，若对应项均为素数则为孪生素数对。
由于这是两个奇数数列，所以，素因子都是大于等于3的，且 相邻素因子的差存在无穷多大于2的差（可以这样理解和证明：素数是无穷多的，所以，相邻素数的差是无穷多的，而差大于2的占多数，所以，相邻素因子的差也是无穷多的而且大于2的差占多数）。
（相邻素因子就是上面两个数列中的全体素因子，其中相邻的两个，由于这两个数列中全体素数都有了，所以这里相邻素因子等于相邻素数。而换做其它数列，素数就不可能这么全了，所以，叙述不能用相邻素数，要用相邻素因子。这样才有普遍性，如我以前的证明用的是两个2次函数数列，对应项也是差为2，但其中缺少很多素数，不是全体素数，所以不能用相邻素数而是用相邻素因子，数列中出现的，数列中没有不算数。由于这样的数列规则更复杂故换成了上面的数列了。）
正是由于这两条原因，孪生素数对就是无穷多的。在一个等差数列中，一个素因子在其一个周期内有且只有一个项含有该因子，而在这两个数列中就会有2项含有该因子这2项并不是对应项。
而其余项若不能被素因子占位，则为素数对，由于对应项差为2则为孪生素数对。
所以，有了前面这两条，就可以循环这个过程到无穷，得到无穷孪生素数对。
下面就看利用欧几里得的证明方法：
证明方法二：
证明：前面两个数列中的对应项若都是素数，就看作一个素数，把素数对看作一个素数，而把合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子2的，且公差是2。
用欧几里得的方法，
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。
设q为所有素数之积(除了2的)加上2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2不是素数。
那么，q可以被3、5，…、p中的数整除。
而q被这3、5，…、p中任意一个整除都会余2，不能整除q，与之矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为2的素数对是无限的，就是孪生素数对是无限的，证毕！
下面来证明差为4的素数对有无穷多。
请看如下两个数列：
2n+1: 3,5,7,……，
2n+5: 7,9,11,……，
对应项差为4，而3和7，7和11就是素数对。是差为4的素数对，是否有无穷多？下面证明：
证明：前面两个数列中的对应项若都是素数，就看作一个素数，把素数对看作一个素数，而把合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子2的，且公差是2。
用欧几里得的方法，
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。
设q为所有素数之积(除了2的)加上2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2不是素数。
那么，q可以被3、5，…、p中的数整除。
而q被这3、5，…、p中任意一个整除都会余2，不能整除q，与之矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为4的素数对是无限的，证毕！
同理，我们可以得到和证明：差为8，10，……，2n的素数对都是无穷多的。
从而得到差定理：任意两个素数的差（包括自身相减）可以表示全体偶数。
从而推导和证明和定理（就是哥德巴赫猜想）：任意两个素数的和可以表示大于等于4的全体偶数。
证明：设p3>=p2>=p1>=3，由差定理知p2-p1=0，2，4，……，则有p2=p1+0，2，4，……（等式含义不解释）。由于p1，p2，p3各自集合无区别，则有p2+p3=2p1+0，2，4，……，又因为2p1>=6，4=2+2.故，命题成立。
证毕！
由此原理，我们可以进一步证明：差为2，4，6，……，2n的相邻素数对都是无穷多的。
相关证明我早已经发表在《数学中国》论坛了，不在重复发表。
这两个命题简单的很，这不是唯一证明方法，证明方法有多种，如果说用不同的数列算不同的证明方法则几乎是无穷多种。
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