精华热点 哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限
文/王彦会
猜想内容:大于等于4的偶数都可以表示为两个素数的和。简记为“1+1”。其实就是个偶数的拆分问题。如:4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5=3+7，…… 我们叫10有两个“1+1”，或两个哥猜素数和对。只要有一个“1+1”哥猜就成立，下面来证明。
将偶数2A内数字如下排列(上排是大的)即得全部拆分:
A A+1 A+2 …… 2A-3 2A-2 2A-1
A A-1 A-2 …… 3 2 1
对应项数字之和为2A。
从这两个数列可以得到这个现象和下面这些定理。
(现象)当A为奇数时，上下排的奇数对比偶数对多一对，当A为偶数时，上下排的奇数对和偶数对相等。如210拆分:
105 106 107 ……207 208 209
105 104 103 …… 3 2 1
上排少了1个偶数210，下排多了一个奇数105，则奇数多了2个。
再如204分拆:
102 103 …… 201 202 203
102 101 …… 3 2 1
上排少写了一个偶数204，下排多写了一个偶数102，奇偶数个数仍相等。
定理1:偶与偶必相对，奇与奇必相对；若2A除以P余0，则上下排含素因子P的必相对且无剩余；若2A除以p余r，则除以P余r的项和余0的项上下排相对且无剩余。
定理2:设[√(2A)]=M(取整数部分)，则2A内的合数全部分别含有M内的素因子。理论上说，除以P余0的项与除以P余r(某确定的数)的项个数相等。(若2A除以p余r，设1≤r-s<p，则上下排除p余r-s的项与除以p余s的项互相对应，没有剩余。)
定理3:除P余0的项和除以P余r的项规律出现，以P为周期间隔出现，不会总是挤在一起。
定理4:素数无限多且分布越来越稀，而且还是疏密相间分布的。
设下排的素数个数和合数个数分别为a和b，上排的分别为c和d，则a+b=c+d，由于素数分布越来越稀，则a>c，a-c=d-b=e>0.(不加说明，一般把1算在下排合数个数里)
设上排的合数被下排的对应项刚好抵消完时，下排剩下的合数为b1素数为a1则有:c=a1+b1，只要a1>=1则哥猜成立，下面证明。
下面证明a1>=m-1：
首先证明偶数2A仅A内的素数个数就大于（m-1）^2个：
证明：由素数个数公式Y/lnY知，(这是个下限公式，低于实际，不会影响结论的推导)，a=A/lnA，m=2√(2A)/ln(2A)，则(m-1)^2=8A/(ln(2A))^2-4√(2A)/ln(2A)+1，可见该函数非抛物线。
由于lnA<<(ln(2A))^2，分子A→8A扩大了8倍，分母扩到自身平方，分母增长更快些，则A/lnA>8A/(ln(2A))^2>8A/(ln(2A))^2-4√(2A)/ln(2A)+1，故a>(m-1)^2.
若下排素数每m-1个算一个区间，就会有m-1个区间，若每个区间有1个素数产生哥德巴赫猜想素数和对，则就会有m-1个哥德巴赫猜想解。就是a1>=m-1.
若上排的素数个数c大于m，能产生m-1对就是可能的。
下面证明c≠0，且c>m:
据相邻素数的最大差定理(见本人发《数学中国》论坛的《某数内的最大的相邻素数差》一文，若使A~2A之间的最大相邻素数差为4n或4n+2，则须A>n^4，则2A=2n^4，而n^4+4n或n^4+4n+2远远小于2n^4，故二者之间会有许多素数。另有:当A=101时，101~201之间有4个平方数，121，144，169，196，跨5个杰波夫区间，每个区间至少含1个素数，更强的定理:100以上，每个区间至少含2个素数。随着A增大，区间个数增多，区间长度增大，甚至每个含有成千上万个素数。故A~2A之间不会没有素数，即c≠0.虽偶有c2=c1-1的情况，但当A>101时，c>>1，故几乎没减少一样，c近似于不减函数，经验证及查素数表知c就是个近似的不减函数，当2A=210时，c=19，m=6，c>m成立，c与m为同一个函数，变量A>M，c的增长快于m，故当2A>=202时，c>m成立，当A增大c>>m。
下面证明，每m-1个素数为一个区间，平均每个区间至少1个素数和对成立：
证明公式
（(P^2)/4)*(1/3)*(3*/5)*......*(1-2/P)/(m-1)>1.
而公式（(P^2)/4)*(1/3)*(3*/5)*......*(1-2/P)/(m-1)就是每m-1个素数中的哥德巴赫猜想解的个数的平均值。
由于p^2+1才是偶数公式也可以改成这样，公式
（(P^2+1)/4)*(1/3)*(3*/5)*......*(1-2/P)/(m-1)>1.（其中m-1>=2公式才成立）
证明连乘积公式：（（p^2+1）/4）*（1/3）*（3/5）*……*（1-2/p）/（m-1）为不减函数，（其中m-1>=2）
证明：由于p^2+1>p>m，所以连乘积分子大于分母m-1，也可以这样做，我们去掉分母m-1不讨论，先讨论分子连乘积的大小，第一项乘数（p^2+1）/4不考虑先去掉，剩下的为（1/3）*（3/5）*……*（1-2/p），这是个减函数，若把分母都变为连续的奇数，则为（1/3）*（3/5）*……*（1-2/（2s+1））（设2s+1=p），错位约分得到结果为1/（2s+1）=1/p，由于这是个减函数，项数越多越小，比原来的连乘积多了不少项，所以是小于原来的连乘积的，由于p^2+1>p>m，所以若p>=97，则p/4>m-1，（因为97以内有25个素数，此时m-1=24），（p^2+1）/p>（p^2+1）/（4p）>m-1，则因为分子大于（p^2+1）/（4p），则有此时分子大于分母m-1，分子的增长速度大于分母的增长速度故是不减函数，而在p小于97时，我们可以代入数值验证其整数部分是不减函数，则原函数是不减函数，证毕！
连乘积公式结果： 500 方根内最大素数19 方根内的素数个数8 每m-1个中的平均值1.00667189952904 总个数为9.75997686524001（由连乘积公式计算从300开始，在每m-1个素数中的平均值已经开始大于1了，这里说的从500开始是保守的说法。）
理论公式平均值就是这个：（（p^2+1）/2）*（1/2）*（1/3）*……*（1-2/p）/（m-1）
理论上大于500的偶数都成立，实际验证，在4~500范围内，这个平均值都是大于等于1的，所以a1>=m-1，且随着偶数增大远远大于m-1.
所以不等式c>=a1>=m-1成立，a1决定了哥猜素数和对个数，这个不等式表示了哥猜素数和对的两个绝对界线，c是绝对上限，m-1为绝对下限。（其中的m是以前面的公式计算结果为标准的，就是m=2√(2A)/ln(2A)）
由于m-1为不减函数，随着偶数增大，m-1远远大于1，故哥德巴赫猜想远远成立。
