在学习过程中，我们应先设定明确的学习目标：先掌握指数函数的图象和性质，再利用这些性质解决简单的定义域和值域问题。
基础概念
一般地，函数 y = a^x（a > 0 且 a ≠ 1）叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R。
易错点：易忽视底数 a 的限制条件 a > 0 且 a ≠ 1。
图像与性质
1. 定义域：R
2. 值域：y > 0（图象位于 x 轴上方）
3. 过定点：(0, 1)（x = 0 时，y = 1）
4. 单调性：
当 a > 1 时，在 R 上是增函数
当 0 < a < 1 时，在 R 上是减函数
5. 取值分布：
0 < a < 1：x > 0 时，0 < y < 1；x < 0 时，y > 1
a > 1：x > 0 时，y > 1；x < 0 时，0 < y < 1
易错点：形如 y = a^{f(x)}（a > 0 且 a ≠ 1）的函数过定点问题，应令 f(x) = 0。
核心运算公式
同底数幂相乘：a^m · a^n = a^{m+n}
同底数幂相除：a^m ÷ a^n = a^{m-n}
幂的乘方：(a^m)^n = a^{mn}
积的乘方：(ab)^n = a^n · b^n
负指数幂：a^{-n} = 1/a^n（a ≠ 0）
特殊底数
自然指数函数：y = e^x（e ≈ 2.78，无理数）
常用底数：a = 10（如 y = 10^x）
与对数函数的关系
互为反函数：y = a^x 与 y = log_a x 的图像关于直线 y = x 对称。
实际应用
指数增长：人口增长、细菌繁殖
指数衰减：放射性元素衰变、药物代谢
比较指数式大小的方法
1. 底数相同、指数不同 → 用单调性
2. 底数不同、指数相同 → 用图像变化规律
3. 底数不同、指数不同 → 用中间量比较
定义域与值域求法
形如 y = a^{f(x)}（a > 0 且 a ≠ 1）的函数：
定义域：与 f(x) 的定义域相同
值域：根据 a 的取值范围和 f(x) 的值域确定
易错点：研究 y = a^{f(x)} 型函数时，易忽略讨论 a > 1 或 0 < a < 1。
作者：杨莎莎（帅亚高中高一29班）
点评
杨莎莎同学的本文系统梳理了指数函数的定义、性质、运算与应用，结构清晰，重点突出。对易错点和比较方法的总结很实用，适合高中数学复习或预习。若能配合函数图像和典型例题，理解会更直观深刻。
整编：阿鹰（AI）
责编：华新
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