照片来源：清华大学数学科学系

在清华大学数学科学系毕业典礼上的讲话

各位同学，

今天很高兴，恭喜你们毕业。这是你们人生的里程碑之一，也是一些同学的数学生涯的开始，希望你们都能取得辉煌的成绩。

1927 年，清华大学创设数学系，培养了陈省身、华罗庚、许宝騄等一代大师，创造了辉煌的历史。九十多年后，尤其是现在这个时刻，是关键的转折点。

当今疫情席卷全球，世界上的主要国家都受到严重的挫折，经济、人口流动等社会的多个方面都在改变。美国是最先进的国家，亦不能幸免于难。其中最富裕的高校——哈佛大学，拥有 450 亿美元的基金，但现在大部分经费都不能启动，且至今已有数亿美元的损失，预计到明年损失高达七亿五千万，这意味着哈佛要冻结大部分长期教职的聘请，而其他的美国学校也遇到同样或更大的困难。不少大学管理者预期，今年秋天以后，很多大学可能会因承受不起经济方面的打击而关闭，这将撼动全世界的教育和研究系统。

中国人可以从字面上理解“危机”为：有危险就有机遇。在目前的形势下，中国经济也会受挫，学校亦会遇到经济困难，但中国的体制与欧美等国不一样。从前美国的优势在于私立学校的独立办学，在遇到困难的时候，他们就各自为政，不会帮助对方，而中国的体制能确保国内主要的大学协同发展，培养主要的人才。

今日的毕业生要面对第一个现实是：华裔学者在美国高校生存的能力将比从前差很多。因为美国的高校除了经济困难以外，现在还遇到种族平等的问题。对于今年毕业的学生，若要到国外去留学，我赞成，但请你们不要忽视上述的现实。假如你们要去的是第一流的学校，像 Harvard、MIT、Princeton、Stanford 等，我觉得还是很值得去的，因为那里有很好的老师和环境；但如果是去普通的高校，清华大学的水准和氛围其实比他们好得多。这十多年来，我们的努力是很有成果的，清华数学系、数学科学中心聘请和培养了一大批杰出的数学家，尤其是年轻学者，他们完成的论文都是世界第一流的，而且我们的学风能够比得上世界最顶尖的大学（包括哈佛在内）。因此，你们在清华做研究不会比在国外差，虽然我刚才鼓励你们去世界最顶尖的大学，但去不了并不代表有很大的损失，至少国内也能提供同样的气氛。

到其他地方学习是美国名校的传统，比如哈佛，是不希望自己的本科生留在哈佛念博士，而是鼓励学生去新的环境学习不一样的学问，感受不一样的学术风气，让他们有更宏大的看法和创新的思维，我觉得这一点是很重要的。但对于中国，我们首先要让研究生能够在本土完成第一流的研究。就清华来而言，数学系或数学科学中心能否跻身世界最顶尖的行列关键在于能不能够培养第一流的研究生。回顾哈佛大学数学系的历史，近代美国数学发展的重要转捩点是 1915 年哈佛的 G.D. Birkhoff 解决了约束三体问题（restricted three body problem），这是彭加莱（H. Poincaré）去世后在动力系统（Dynamical Systems）方面最重要的工作。Birkhoff 一辈子没离开过美国，在他以前，美国主要是派留学生到欧洲，虽然他们也做出不错的成果，但直至 Birkhoff，才真正影响了整个美国的数学发展。美国数学家从此有了自信心，不一定要派留学生到国外去也可以完成举世瞩目的工作。Birkoff 发表了这个工作以后，在哈佛培养了一大批世界一流的博士生，如 Hassler Whitney，Marston Morse，Charles Morrey 等，使得很多的奠基性工作都在哈佛产生。能查到的 Birkhoff 的学生，及其学生的学生，如今已超过九千人，而在美国真正做研究的数学家不会超过两万人。这表明从 Birkhoff 开始，美国数学的学风和基础已形成。我期盼清华也能产生像 Birkhoff 那样开风气之先的领航者，希望我们的研究生或者本科生也能够在清华念书期间完成如此重要的论文。

清华的学风其实是很开放，同时能创造自己的环境。翻阅清华的历史，我最佩服的是清华四大国学导师之一的王国维，他是留着辫子的满清遗老，没拿过任何学位，但学问却是崭新的，是二十世纪融汇中西方学术——尤其是中国与德国的哲学思想——最早且最重要的学者，他改变了中国历史、文学、美学和考古学的研究，奠定了中国二十世纪这些学科的走向。我们数学系的陈省身先生也是一代宗师，不过他重要的贡献是在海外完成的。我希望将来引领数学研究走向的最主要工作是在清华完成，这要靠我们师生的努力。

二十一世纪应当是中国人扬眉吐气的时刻，让我们在二十年代，也就是未来这十年，能够走出一条新的道路，引领世界。我觉得时机已经成熟，不再像以前那样只能去学习外国的学问，学习当然很重要，无论如何一定要学习，假如我们不了解海外重要的工作，不可能走出新的道路，但也要有自信心能够走出自己的路，要在学习中探寻什么是最重要的方向。

十九世纪以前，数学跟其他学科不分家，物理和数学往往是在一起的；从二十世纪初期到七十年代，数学的发展变得相对独立；最近四十年来，数学走了跟之前不大一样的道路，数学学科跟物理、工程等产生了很大的融合，获得了颇多杰出的成果，对数学本身和其他学科都非常重要。每一次大的转变，数学本身吸收了很多重要的思想，譬如，量子场论的发展让物理、数学物理、代数几何以及拓扑学等产生了很重要的改变，而且改变会不停地加深。我们就算不深入研究，也应当了解新的发展动向，使自己在听演讲时知道人家在讲什么。

本科与研究生阶段是最有时间去学习的时候，要多花功夫了解和思考，同时最重要的是将基础打扎实。尽管花大量的功夫对每个学生来说都不容易，但决不可错过最佳的学习时机。每一位从事数学工作的人都有以下类似的经历：博士毕业后到新的数学系工作，假如你是做拓扑学的，系里的同事认为你就是拓扑学的专家，应该懂得拓扑学的所有知识，而实际上你只是写了一篇拓扑学方面的论文，懂得的其实相当有限，于是你要花精力把拓扑学钻研透，因此就少了很多时间去学其他还没学过的学科。一个人要学的东西实在太多，我亦总觉得自己懂的学问不够。而当你是学生时，不是专家，没有以上的负担，学生的首要任务本来就是学习。

你们在做学生这段时间，最基本的工具一定要学好。若连最基本的工具都没掌握，根本谈不上跨学科的研究。我们都知道，第一流的学问往往是不同学科的融合而爆发出来的火花。André Weil 是伟大的数学家，当年他告诉我，一个伟大的数学学者非要精通至少两门不同学科不可。举例来说，在数学上，假如你学拓扑学，你还要懂得几何或分析，这样你才能通过两个不同的工具来完成前人没有想到的工作。刚才我们提到的 Birkhoff 的学生 Marston Morse，Morse 理论的伟大是他将分析和拓扑学联系起来，以后拓扑学好几个主要的方向都是通过 Morse 理论来完成的，假如 Morse 对拓扑或者对临界点理论（critical point theory）没有兴趣，他无法完成此理论。不妨再看看其他二十世纪伟大的数学家，我们也会发现他们大部分都是能精通两门学科以上的。当你进入一个学科的研究以后，不可能通晓所有东西，但要将其工具都掌握了，所谓精通就是对工具能运用自如，遇到困难的题目不会惧怕，懂得如何学习和思考。我希望你们能达到这种不畏难题的境界。当然，你也可以请教其他的专家，让他们给你建议作参考，这都是可以的，但决不能畏惧，要尽力去解决。

面对棘手的问题不知所措，不光是学生会遇到的，就连著名的大师也会遇到同样的尴尬。大物理学家泡利（Wolfgang Pauli），他的不相容原理（exclusion principle）是二十世纪物理学最重要的里程碑之一，泡利在去世前曾在酒后跟他的朋友讲：“我一辈子就是等大问题来了，让我能够去解决它，但当我看着大问题来了，我也看着它离开我，因为我没有办法解决它”。我想泡利讲的是量子电动力学（Quantum electrodynamics，QED），他当时没有足够的工具解决这个问题，所以他觉得很颓唐。

你们毕业的时候，要尽量学会一些主要的工具，这是以后对付数学、物理、生物或工程上的问题的重要“兵器”，这些问题从自然界产生，既复杂又有趣，要有办法和工具对付它。有很多工具，刚开始以为不重要、不流行，很多人不想去学，这往往是个错误的看法。我记得三十年前，拓扑学做到一个地步以后，大家认为同伦理论（homotopy theory）用处不大，于是就不学了，但最近这几年来，同伦理论变得越来越重要，由于凝聚态物理要用到很多同伦理论的缘故。自然产生的理论总是有其好处，我们不要挑剔。

总的来讲，我希望你们在做学生的时候至少掌握两门不同的工具，以后做学问的时候有两门板斧，而且每一门都要精通，当真正去解决问题时能挥放自如。假如我们的学生都能这么做的话，中国的数学将很快转型，我寄望在你们身上，希望你们能够努力。对我来讲，世界上没有天才，要做得好，自己一定要努力。

谢谢诸位！■